Андрей Бесхмельницкий родился 25 марта 1967 года в городе Луганск, Украина. После школы до 1989 года получал высшее образование в Ставропольском педагогическом институте. До 1991 года профессионально занимался футболом.

     В 1992 году Андрей Анатольевич возглавил частную компанию в городе Ставрополь, работавшую в области рекламы и полиграфии. Через два года стал заместителем управляющего филиалом «Ставропольский» ОАО «Инкомбанк».

     С 1995 по 1998 года занимал должность Президента Совместного предприятия «Агроинком», по совместительству являлся менеджером проекта в ОАО «Инкомбанк». С 1998 года в должности начальника руководил агропромышленным отделом московского представительства «Rabobank», затем занимал аналогичный пост в ООО  Финансовая корпорация «РабоИнвест». В следующем году стал Генеральным директором ОАО «Омский бекон».

     В 2000 году Бесхмельницкого назначили Генеральным директором ООО «Группа Планета». Через два года возглавил ОАО «Компания «Юнимилк». С 2005 года входил в Совет директоров компании. В 2010 году компании «Юнимилк» и Danone объединились в Совместное предприятие «Danone-Юнимилк». Занимал должность Генерального директора до 2011 года. В 2011 году избран Председателем Совета директоров ОАО «Компания «Юнимилк».

     Андрей Анатольевич в 2011 году стал крупнейшим акционером латвийской компании «Rigas piena kombinats». В следующем году на базе двух молокоперерабатывающих комбинатов в Латвии вместе с партнерами создал компанию «Food Union».

     Владелец единственного в Российской Федерации предприятия, специализирующегося на выведении орловских рысаков - ЗАО «Хреновское». Вкладывает средства в реконструкцию Рижского молочного комбината.